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第一章 集合與函數(shù)概念
一、集合有關(guān)概念
1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合,其中每一個(gè)對象叫元素。
2、集合的中元素的三個(gè)特性: 1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性 說明:
(1)對于一個(gè)給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個(gè)對象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。
(2)任何一個(gè)給定的集合中,任何兩個(gè)元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個(gè)集合時(shí),僅算一個(gè)元素。
(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個(gè)集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。
(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示:{ ? } 如{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列舉法與描述法。 注意:常用數(shù)集及其記法: 非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作:N 正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R 關(guān)于“屬于”的概念 集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說a屬于集合A 記作 a∈A ,相反,a不屬于集合A 記作 a A 列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個(gè)大括號括上。 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個(gè)集合的方法。 ①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②數(shù)學(xué)式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分類: 1.有限集 含有有限個(gè)元素的集合 2.無限集 含有無限個(gè)元素的集合 3.空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合間的基本關(guān)系 1.“包含”關(guān)系—子集 注意:BA?有兩種可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A與B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A? ?B或B??A 2.“相等”關(guān)系(5≥5,且5≤5,則5=5) 實(shí)例:設(shè) A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 結(jié)論:對于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即:A=B ① 任何一個(gè)集合是它本身的子集。A A ②真子集:如果A B,且A B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A) ③如果 A B, B C ,那么 A C ④ 如果A B 同時(shí) B A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ 規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的運(yùn)算 1.交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集. 記作A∩B(讀作"A交B"),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集。記作:A∪B(讀作"A并B"),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集與并集的性質(zhì):A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集與補(bǔ)集
(1)補(bǔ)集:設(shè)S是一個(gè)集合,A是S的一個(gè)子集(即SA?),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集) 記作: CSA 即 CSA ={x x S且 x A}
(2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素,這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來表示。
(3)性質(zhì):⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U
二、函數(shù)的有關(guān)概念 1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域. 注意:○2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合;○3 函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式. 定義域補(bǔ)充 能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;
(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù) 通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數(shù)為零底不可以等于零
(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義. (注意:求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。) 構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域 再注意:
(1)構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))
(2)兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同;②定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)值域補(bǔ)充
(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采取什么方法
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